왜 0으로 나눌 수 없어요? 분모가 0이 되면 왜 안 돼요? 나눗셈을 배운 아이들에게 왜 0으로 나눌 수 없는지 질문해 보면 그 이유를 정확히 설명하지 못하는 경우가 많습니다. 고등학교 2학년 때 분모가 0으로 한없이 가까이하는 극한을 배우면서 개념을 잘못 이해하면 분모가 0이 될 수 있다고 혼동하기도 합니다. 옆에 핸드폰이 있다면 계산기를 켜고 직접 0으로 나누기를 시도해 봅시다. 그러면 오류가 뜹니다. 이제 교실에서 못다 한 이야기를 이어가겠습니다.
0으로는 나눌 수 없다
모든 상품의 가격이 100만 원인 어느 상점에 들어간다고 상상해 봅시다. 이 상점에 들어갈 때 딱 100만 원만 들고 입장한다면 몇 개의 물건을 살 수 있습니까? 답은 뻔합니다. 1개만 살 수 있습니다. 반면 상점에 있는 모든 상품이 50만 원이라면 100만 원으로 2개의 물건을 살 수 있습니다. 그럼 계속해서 추론해 봅시다. 지금 상점에서 거래하는 상품이 단돈 1000원이라면 100만 원으로 몇 개를 살 수 있습니까? 정확히 1000개의 물건을 살 수 있습니다. 계속해서 좀 더 생각해 봅시다. 상품의 가격이 100원이라면 100만 원으로 몇 개를 살 수 있을까요? 그렇습니다. 10,000개를 살 수 있습니다. 즉 상품의 가격이 내려갈수록 더 많은 수량을 구매할 수 있습니다. 제품의 값을 점점 낮춘다면 구매할 수 있는 상품의 수는 점점 증가합니다. 그런데 물건 값이 0원이면 어떻게 될까요? 사는데 전혀 비용이 들지 않는다면? 아래 표에서 보듯이 상품의 가격을 계속 낮춘다면 살 수 있는 수량은 계속 증가합니다. 그런데 상품당 가격이 0인 시점에 도달하면 그때 살 수 있는 수량은 '무한'이 될 것입니다. 그래서 상품의 가격이 0원인 물건을 살 수 있는 개수는 알 수가 없습니다.
1. 초등학교 3학년 나눗셈을 곱셈으로 나타내면
마치 사과 100개를 0개씩 똑같이 나누어준다면 몇 명에게 나누어 줄 수 있을까요? 생각해 보면 0으로는 아무리 나누어 주려고 해도 몇 명에게 나누어 줄 수 있는지 알 수없습니다. 이번엔 다른 방법으로 알아봅시다. 나눗셈과 곱셈은 역연산 관계입니다. 이제 역연산을 이용해 0으로 나눌 수 없는 이유를 설명하겠습니다. 만약 100 나누기 0이 어떤 값이 된다고 합시다. 이 식을 곱셈식으로 변환해 보면 오류가 생긴다는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면 0은 어떤 수를 곱해도 0이 되기 때문에 0을 곱해서 100이 되는 수는 존재하지 않습니다. 그래서 0으로는 나눌 수 없습니다.
2. 극한을 배울 때 분모가 0에 가까워진다는 의미에서 오는 혼동
고등학교1학년이 되면 유리함수를 배우면서 y=1/x에서 정의역 x는 0이 될 수 없다고 배웁니다. 여기서 분모가 0이 될 수 없음을 다시 한번 인지하고 넘어갑니다. 고2 때 함수의 극한 단원에서 함수 f(x)=1/x에 대하여 x=0에서의 극한은 존재하지 않는다고 배웁니다. 즉 f(x)는 발산합니다. 여기서 x가 0에 한없이 가까워질 때 발산한다는 의미는 무한대라고 정의합니다. 0에 가까워진다는 것은 x가 0이라는 뜻은 아닙니다. 또 무한대는 수가 아니라 개념입니다. 그래서 간혹 극한을 배우면서 아이들이 이 개념을 혼동하면 마치 분모가 0이 될 수 있다고 착각할 수 있습니다. 그래서 극한의 모든 개념을 정확히 이해하고 넘어가야 이 부분에서 혼동을 줄일 수 있습니다.